Caderno de notas
Ensaios breves sobre lógica, filosofia e ensino — escritos para abrir problemas, organizar conceitos e prolongar conversas.
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Notas atrás, comecei com quatro frases de Aristóteles sobre uma turma de alunos. Chego agora a um poliedro de treze fórmulas, gerado por um sistema lógico que desenvolvi no doutorado. Esta nota reconstrói o caminho inteiro — do quadrado das oposições ao Tetraedro Completo — como uma única linha de raciocínio, e não como uma sequência de assuntos desconexos.
Os Sistemas KG não apenas hospedam as três negações — permitem perguntas que nenhum sistema anterior conseguia sequer formular. O que acontece quando duas negações diferentes se combinam numa mesma fórmula? Examino aqui as dezoito fórmulas de dupla negação que a família KG deixa testar, o Tetraedro Completo das Oposições que resulta delas, e a calculadora interativa onde o leitor confere tudo com as próprias mãos.
Nesta nota apresento os Sistemas KG, o projeto que desenvolvi no doutorado para tratar a negação clássica, a paraconsistente e a paracompleta como três conectivos primitivos — e não como efeitos colaterais de uma proposição bem ou mal comportada. Sintaxe, semântica e o método de prova por tableaux, com o cuidado que o tema pede.
Entre os diferentes sistemas lógicos que vimos, N1 de da Costa é o único sistema capaz de hospedar as negações clássica, paraconsistente e paracompleta ao mesmo tempo. Mas hospedar não é o mesmo que relacionar. Mostro aqui que, assim que tentamos misturar essas negações numa mesma fórmula, N1 trava — e por que isso pede um sistema diferente.
O lógico Jean-Yves Béziau defendeu, em 2003, uma tese ousada: as três relações do quadrado aristotélico — contradição, contrariedade, subcontrariedade — são, no fundo, três tipos de negação. Partindo dessa sugestão, mostramos como uma fórmula e suas negações clássica, paracompleta e paraconsistente se organizam numa figura que o quadrado, sozinho, não tem como desenhar: um tetraedro.
Muito antes de existirem lógicas paraconsistentes ou paracompletas, Aristóteles já precisava explicar por que "algum aluno não passou" não contradiz "algum aluno passou". O quadrado das oposições nasceu dessa pergunta simples. Esta nota apresenta suas quatro proposições e suas quatro relações — e deixa uma pista sobre para onde elas vão nos levar.
A negação clássica exige que uma proposição e sua negação nunca sejam ambas verdadeiras, nem ambas falsas. Bastou relaxar uma dessas exigências, e não a outra, para nascerem duas famílias inteiras de lógicas: a paraconsistente e a paracompleta. Anos depois, da Costa tentou unir as duas num único sistema, sem perder a lógica clássica. Como cada uma dessas construções funciona é o que esta nota apresenta.
Nos sistemas de da Costa, uma proposição pode ser bem ou mal comportada, e isso decide como sua negação vai se comportar. Defendo a posição oposta: a proposição nunca muda — o que muda é qual conectivo de negação, entre o clássico, o paracompleto e o paraconsistente, escolhemos aplicar a ela.
Um argumento de 1995 dizia que a lógica paraconsistente simplesmente não existe. A resposta mais interessante não é provar que ele está errado — é perguntar o que, afinal, conta como negação.
Se a negação paraconsistente forma apenas subcontrárias, e não contradições propriamente ditas, o que sobra da ideia de que essas lógicas lidam com contradições verdadeiras? A resposta de Jonas Arenhart transforma o problema em outra coisa — e oferece um critério preciso para saber quando a estratégia funciona.
Sobre o caderno
Um espaço menos formal que um artigo, mas igualmente comprometido com distinções claras, bons argumentos e conversas abertas com leitores.