Haveria um sistema para tratar essas diferentes negações?

Terminamos a nota anterior com uma pergunta em aberto: existe algum sistema lógico em que as seis relações do Tetraedro Simples das Oposições — as três oposições entre $\alpha$ e suas negações, mais as três subalternações entre as negações — possam de fato ser demonstradas, e não apenas verificadas semanticamente? Um sistema em que uma fórmula como $\neg_q\alpha \rightarrow \neg_p\alpha$, ou mesmo $\neg_c\neg_p\neg_q\alpha$, com as três negações reiteradas sobre a mesma fórmula, realmente faça sentido?

Um candidato óbvio já está na mesa. Vimos, na nota "Três modos de negar", que $N_1$ é o único dos sistemas de da Costa (1989)da Costa, N.C.A.. Logics that are both paraconsistent and paracomplete. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti. v. 83. n. 1. p. 29–32. Accademia Nazionale dei Lincei. 1989. que introduz as três negações — clássica, paraconsistente e paracompleta — dentro de uma única linguagem, através dos operadores de bom comportamento $\alpha^\circ$ (bom comportamento paraconsistente) e $\alpha^\bullet$ (bom comportamento paracompleto). Isso é, inclusive, o que justifica chamá-lo de sistema "ecumênico". A pergunta deste texto é simples: $N_1$ dá mesmo conta disso?

Reiteração e iteração: uma distinção necessária

Para responder, preciso separar dois problemas que parecem iguais, mas não são.

Reiteração é a repetição do mesmo processo sem alterar o modo como ele opera. Uma fórmula como $\neg_c\neg_c\neg_c\alpha$ é uma reiteração: a mesma negação clássica aplicada três vezes seguidas.

Iteração, por outro lado, é a repetição de um processo em que, a cada passo, algo pode mudar. Uma fórmula como $\neg_p\neg_q\neg_c\alpha$ é uma iteração: três negações diferentes — paraconsistente, paracompleta, clássica — encadeadas sobre a mesma fórmula.

$N_1$ lida bem com reiteração. Isso já está resolvido desde a nota "Três modos de negar": se uma fórmula é bem comportada em ambos os sentidos, toda negação não-alética reiterada sobre ela continua se comportando classicamente; se é bem comportada só paraconsistentemente, a reiteração continua paraconsistente; e assim por diante. O problema é outro: $N_1$ consegue lidar com iteração? Consegue, por exemplo, demonstrar $\neg_q\alpha \rightarrow \neg_p\alpha$ — a própria subalternação que construímos na nota anterior?

O Teorema de Arruda trava a porta

A resposta depende de um resultado técnico que a tradição paraconsistente brasileira já conhecia bem antes de $N_1$: o Teorema de Arruda, batizado em homenagem à lógica Ayda Arruda, que o demonstrou originalmente para $C_1$. Adaptado para $N_1$, ele diz:

Ou seja: o próprio bom comportamento paraconsistente de uma fórmula é, sempre, bem comportado. Não existe fórmula cujo bom comportamento seja, ele mesmo, contraditório.

Desse teorema — e de dois resultados que o acompanham, segundo os quais o bom comportamento de $\alpha$ se transmite a $\neg\alpha$ nos dois sentidos ($\alpha^\bullet \rightarrow (\neg\alpha)^\bullet$ e $\alpha^\circ \rightarrow (\neg\alpha)^\circ$) — segue algo que não é nada óbvio à primeira vista: o bom comportamento de uma fórmula se propaga por toda a cadeia de negações reiteradas sobre ela, para sempre, nos dois sentidos ao mesmo tempo.

O que dá errado

Vejamos a fórmula (a) $\neg_q\alpha \rightarrow \neg_p\alpha$ — exatamente a subalternação entre a negação paracompleta e a paraconsistente que o Tetraedro Simples exige.

Pela definição de $N_1$ (a mesma que já vimos antes):

Suponha que (a) seja verdadeira e que $\neg_q\alpha$ também seja. De $\neg_q\alpha$ extraímos $\alpha^\circ$. Aplicando modus ponens em (a), obtemos $\neg_p\alpha$ — e de $\neg_p\alpha$ extraímos $\neg(\alpha^\circ)$. Chegamos então a $\alpha^\circ \wedge \neg(\alpha^\circ)$ — exatamente o que o Teorema de Arruda proíbe. A fórmula (a) não pode, portanto, ser verdadeira em $N_1$.

Ou seja: a subalternação que tínhamos acabado de demonstrar semanticamente, usando o vocabulário da Teoria das Oposições — se $\neg_q\alpha$ é verdadeira, $\alpha$ é falsa, e se $\alpha$ é falsa, $\neg_p\alpha$ é verdadeira — é diretamente refutada dentro de $N_1$. O sistema que deveria hospedar as três negações contradiz a própria relação que as caracteriza como as três negações que dissemos que eram.

O segundo tipo de fórmula, como (b) $\neg_c\neg_p\neg_q\neg_c\alpha \rightarrow \alpha$, revela um problema ainda mais sutil. Assim que a primeira negação de dentro para fora é clássica ($\neg_c\alpha$), a definição de $N_1$ exige que $\alpha$ seja bem comportada nos dois sentidos ($\alpha^\circ \wedge \alpha^\bullet$) — e, pelo mesmo mecanismo do Teorema de Arruda, essa dupla boa comportação se propaga para $\neg_c\alpha$, e da mesma forma para cada negação seguinte, não importa qual símbolo usemos para escrevê-la. O resultado é que uma fórmula que parece alternar entre negação clássica, paraconsistente e paracompleta — $\neg_c\neg_p\neg_q\neg_c\alpha$ — é, por dentro, forçada a se comportar exatamente como $\neg_c\neg_c\neg_c\neg_c\alpha$: puramente clássica, do início ao fim. Os símbolos $p$ e $q$ ali no meio da fórmula não fazem diferença nenhuma (Gracher, 2026Gracher, Kherian. Can da Costa's Non-Alethic Logic Really Handle Multiple Negations?. Manuscrito.; p. 8-11).

Um sistema pluralista, mas só um de cada vez

O diagnóstico, então, é este: $N_1$ trata muito bem cada uma das três negações isoladamente — reiterar a mesma negação funciona exatamente como esperado, e por isso obtemos $CPL$, $C_1$ e $P_1$ como casos particulares de $N_1$, cada um em seu devido contexto. O que $N_1$ não consegue fazer é deixar as três negações interagirem dentro de uma mesma fórmula — misturá-las, combiná-las, fazer uma subalternar a outra. E é exatamente essa interação que o Tetraedro Simples exige, e que qualquer sistema que se pretenda "ecumênico" — no sentido forte de unificar as três negações, e não só hospedá-las lado a lado — deveria oferecer.

Um resultado parecido, aliás, aparece já em $C_1$ sozinho, sem precisar de $N_1$: se a negação clássica de $C_1$ (a chamada "negação forte", $\neg^\star\alpha$) é aplicada e depois negada de novo paraconsistentemente, o mesmo Teorema de Arruda força a segunda negação a também se comportar classicamente (Gracher, 2026Gracher, Kherian. Can da Costa's Non-Alethic Logic Really Handle Multiple Negations?. Manuscrito.; p. 12-13). Isso não é uma peculiaridade de $N_1$; é uma consequência de como da Costa constrói suas negações — marcando a proposição como bem ou mal comportada, em vez de tratar cada negação como um conectivo primitivo por si. Já defendi, numa nota anterior desta série, que é exatamente essa escolha — marcar a proposição em vez do conectivo — que gera esse tipo de problema. O que temos aqui é a demonstração formal de que a intuição estava certa.

Um convite, uma última vez

Se o que faz de uma negação uma negação é justamente que ela realiza, com uma proposição, uma relação de contradição, contrariedade ou subcontrariedade — como a Teoria das Oposições sugere, e como o próprio Béziau propôs para justificar o uso desse vocabulário —, então precisamos de um sistema em que essa relação valha em qualquer contexto, inclusive quando as negações estão misturadas na mesma fórmula. $N_1$ não é esse sistema: ele preserva as relações dentro de cada contexto isolado, mas não entre contextos diferentes.

Foi para resolver exatamente esse problema — um sistema em que as três negações sejam primitivas desde o início, e não efeitos colaterais do bom ou mau comportamento de uma proposição — que desenvolvi os Sistemas KG.