Uma família de lógicas não-clássicas
Os Sistemas KG são quatro lógicas proposicionais construídas sobre uma mesma linguagem para estudar conjuntamente a negação clássicaNegação clássica · ¬cÉ a negação que inverte integralmente o valor de verdade: se α é verdadeira, ¬cα é falsa; se α é falsa, ¬cα é verdadeira.Sintaxe: admite Terceiro Excluído, Não-Contradição, explosão e eliminação da dupla negação.Semântica: v(¬cα) = 1 se, e somente se, v(α) = 0., a paraconsistenteNegação paraconsistente · ¬pPermite que α e ¬pα sejam simultaneamente verdadeiras sem que qualquer fórmula passe a ser demonstrável.Sintaxe: o Ex Falso e a Não-Contradição com ¬p não valem em geral; KGp acrescenta ¬p¬pα → α.Semântica: se v(¬pα) = 0, então v(α) = 1; quando ¬pα = 1, α ainda pode valer 1. e a paracompletaNegação paracompleta · ¬qPermite que α e ¬qα sejam simultaneamente falsas, representando lacunas de verdade sem colapsar o sistema.Sintaxe: o Terceiro Excluído com ¬q não vale em geral; KGq acrescenta α → ¬q¬qα.Semântica: se v(¬qα) = 1, então v(α) = 0; quando ¬qα = 0, α ainda pode valer 0.. KGm, KGp, KGq e KGc compartilham uma base formal e se distinguem pela maneira como tratam as duplas negações, permitindo investigar tanto cada negação quanto suas combinações.
A linguagem proposicional de KG permite combinar, de modo independente, três maneiras de negar.
Se α e β são fórmulas, então ¬cα, ¬pα, ¬qα e (α → β) também são fórmulas.
α, α → β / βC1α → (β → α)
C2(α → β) → ((α → (β → γ)) → (α → γ))
N1(α → β) → ((α → ¬cβ) → ¬cα)
N2¬qα → ¬cα
N3¬cα → ¬pα
N4¬c¬cα → α
N5¬p¬pα → α
N6α → ¬q¬qα
KGm usa MP, C1–C2 e N1–N4. KGp acrescenta N5; KGq, N6; KGc, N5 e N6.
α ∧ β := ¬c(α → ¬cβ)α ∨ β := ¬cα → βα ↔ β := (α → β) ∧ (β → α)A base comum. Não assume nem ¬p¬pα → α nem α → ¬q¬qα.
Acrescenta N5: a dupla negação paraconsistente pode ser eliminada.
Acrescenta N6: a dupla negação paracompleta pode ser introduzida.
Reúne N5 e N6 e, portanto, as duas extensões da base minimal.
Na semântica bivalorada, 1 é o valor designado e 0 o não-designado. Para todo sistema KG:
v(¬cα) = 1 ⇔ v(α) = 0v(¬pα) = 0 ⇒ v(α) = 1v(¬qα) = 1 ⇒ v(α) = 0v(α → β) = 1 ⇔ v(α) = 0 ou v(β) = 1v(α ∧ β) = 1 ⇔ v(α) = v(β) = 1v(α ∨ β) = 1 ⇔ v(α) = 1 ou v(β) = 1v(α ↔ β) = 1 ⇔ v(α) = v(β)KGp e KGcv(¬p¬pα) = 1 ⇒ v(α) = 1
KGq e KGcv(α) = 1 ⇒ v(¬q¬qα) = 1
A seguir, você pode construir Árvores Semânticas (Tableaux Analíticos) para testar fórmulas nos quatro Sistemas KG. Depois do laboratório, o Tetraedro das Oposições sintetiza geometricamente as relações algébricas entre as três negações e suas principais interações.
Método de prova
Um tableau é uma árvore semântica que decompõe uma fórmula em condições cada vez mais simples. Para testar se α é teorema de um Sistema KG, começamos supondo que ela é falsa — escrevemos α 0 — e aplicamos as regras adequadas aos conectivos e às negações.
Se cada ramo conduz a uma fórmula com os dois valores, como β 1 e β 0, encontramos uma contradição semântica e fechamos o ramo com ⊗. Quando todos os ramos fecham, não existe valoração que torne α falsa; portanto, α é demonstrada no sistema escolhido. Um ramo completo que permanece aberto indica uma possível contra-valoração.
Nos Sistemas KG, as regras preservam a semântica comum e acrescentam duas expansões específicas: uma para KGp/KGc e outra para KGq/KGc. Passe o cursor pelos cartões para consultar cada regra.
¬cα 1 ⟹ α 0¬cα 0 ⟹ α 1A negação clássica sempre inverte o valor da fórmula.
¬pα 0 ⟹ α 1Se a negação paraconsistente é falsa, a fórmula é verdadeira. Não há expansão geral para ¬pα com valor 1.
¬qα 1 ⟹ α 0Se a negação paracompleta é verdadeira, a fórmula é falsa. Não há expansão geral para ¬qα com valor 0.
(α → β) 0 ⟹ α 1, β 0(α → β) 1α 0 │ β 1A condicional falsa gera duas consequências no mesmo ramo; a verdadeira divide o tableau.
(α ∧ β) 1 ⟹ α 1, β 1(α ∧ β) 0α 0 │ β 0Uma conjunção verdadeira preserva ambos os conjuntivos; uma conjunção falsa ramifica.
(α ∨ β) 0 ⟹ α 0, β 0(α ∨ β) 1α 1 │ β 1Uma disjunção falsa preserva ambos os disjuntos falsos; uma disjunção verdadeira ramifica.
(α ↔ β) 1 ⟹ (α 1, β 1) │ (α 0, β 0)(α ↔ β) 0 ⟹ (α 1, β 0) │ (α 0, β 1)O bicondicional verdadeiro conserva valores iguais; o falso separa valores distintos em ramos alternativos.
¬p¬pα 1 ⟹ α 1É a regra de tableau correspondente ao axioma N5, exclusivo das extensões KGp e KGc.
¬q¬qα 0 ⟹ α 0É a regra de tableau correspondente ao axioma N6, exclusivo das extensões KGq e KGc.
α 1α 0──────── ⊗Quando uma fórmula e sua conjugada aparecem no mesmo ramo, nenhuma valoração satisfaz aquele ramo. O tableau fecha quando todos os ramos fecham.
Laboratório formal
Digite uma fórmula, escolha o sistema e acompanhe cada regra expandir a árvore semântica.
Também são aceitos ->, &, | e letras latinas.
Construção visual
Aplicando regras · passo 1 de 5
Exemplos orientados
Selecione uma fórmula para carregá-la no laboratório e acompanhar a construção do tableau. Os contrastes abertos mostram resultados que não são teoremas de KGm.
Da tradição aristotélica aos Sistemas KG
O ponto de partida é o quadrado aristotélicoQuadrado aristotélicoA · E · I · OATodo S é PENenhum S é PIAlgum S é POAlgum S não é P, uma representação das proposições universais e particulares. Nele, as oposições distinguem contradiçãoContradiçãoDuas proposições contraditórias não podem ter o mesmo valor: uma é verdadeira exatamente quando a outra é falsa.No quadrado: A contradiz O; E contradiz I.Exemplo: ‘Todo S é P’ e ‘Algum S não é P’., contrariedadeContrariedadeDuas proposições contrárias não podem ser ambas verdadeiras, embora possam ser ambas falsas.No quadrado: A e E são contrárias.Exemplo: ‘Todo S é P’ e ‘Nenhum S é P’ podem ser ambas falsas., subcontrariedadeSubcontrariedadeDuas proposições subcontrárias não podem ser ambas falsas, embora possam ser ambas verdadeiras.No quadrado: I e O são subcontrárias.Exemplo: ‘Algum S é P’ e ‘Algum S não é P’ podem ser ambas verdadeiras. e subalternaçãoSubalternaçãoÉ uma relação direcional: a verdade da proposição universal implica a verdade da particular correspondente; inversamente, a falsidade da particular implica a falsidade da universal.No quadrado: A subalterna I; E subalterna O.Exemplo: se ‘Todo S é P’ é verdadeira, então ‘Algum S é P’ também é verdadeira. — relações que descrevem quais valores de verdade duas proposições podem ou não compartilhar.
Quando α é comparada às negações clássica, paraconsistente e paracompleta, o quadrado ganha uma dimensão. Surge o tetraedro simplesTetraedro simplesα e suas três negações¬c · clássica¬p · paraconsistente¬q · paracompleta: α e sua negação clássica, ¬cα, são contraditóriasα e ¬cα: contradiçãoα e ¬cα são contraditórias, uma vez que α e sua negação clássica sempre têm valores de verdade diferentes.Se α é verdadeira, ¬cα é falsa; se α é falsa, ¬cα é verdadeira.As duas fórmulas jamais são verdadeiras ou falsas simultaneamente.; α e sua negação paracompleta, ¬qα, são contráriasα e ¬qα: contrariedadeα e ¬qα são contrárias, uma vez que podem ser ambas falsas, mas jamais verdadeiras simultaneamente.A paracompletude admite uma lacuna: α = 0 e ¬qα = 0.Se ¬qα é verdadeira, α necessariamente é falsa.; α e sua negação paraconsistente, ¬pα, são subcontráriasα e ¬pα: subcontrariedadeα e ¬pα são subcontrárias, uma vez que podem ser ambas verdadeiras, mas não falsas simultaneamente.A paraconsistência admite uma sobreposição: α = 1 e ¬pα = 1.Se α é falsa, ¬pα necessariamente é verdadeira.; e as três negações também se articulam por subalternaçõesSubalternações entre as três negaçõesSe ¬qα é verdadeiro, então α é falso, pois ¬qα e α podem ser ambos falsos, mas nunca ambos verdadeiros. Se α é falso, então ¬cα é verdadeiro, pois α e ¬cα sempre têm valores distintos.Se ¬cα é verdadeiro, então α é falso, pois α e ¬cα sempre têm valores distintos. Mas, se α é falso, então ¬pα é verdadeiro, uma vez que ¬pα e α podem ser ambos verdadeiros, mas nunca ambos falsos.Disso se segue que, se ¬qα é verdadeiro, então ¬pα também é verdadeiro..
Os Sistemas KG permitem então reiterar negações diferentes numa mesma fórmula. Ao acrescentar todas as combinações de duplas negações, o tetraedro completo amplia a figura inicial para revelar uma rede de contradições, contrariedades, subcontrariedades e subalternações — todas analisáveis pelo método de tableaux.
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