Negações e as Relações de Oposição

Na nota anterior vimos que o quadrado das oposições organiza quatro proposições categóricas em torno de quatro relações: contradição, contrariedade, subcontrariedade e subalternação. Tudo isso foi pensado por Aristóteles para frases como "todo aluno passou" ou "algum aluno não passou" — proposições sobre quantidades. Nada ali, a princípio, tem a ver com negação paraconsistente, negação paracompleta ou qualquer discussão de lógica não-clássica. E, no entanto, é exatamente esse vocabulário que vamos usar agora para organizar as três negações que interessam a este blog.

A sugestão de Béziau

Em 2003, o lógico Jean-Yves Béziau publicou um artigo com um título estranho: "New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner" — "nova luz sobre o quadrado das oposições e seu canto sem nome" (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.). O "canto sem nome" é o vértice O do quadrado: temos palavras prontas para "todo", "algum" e "nenhum", mas nenhuma língua natural parece ter uma palavra primitiva só para "nem todo" (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 218-219).

Mas o que interessa aqui não é essa curiosidade lexical — é o que Béziau faz com ela. Ele observa que as três relações do quadrado (deixando de lado a subalternação, que ele não trata como uma relação de oposição genuína) não precisam ser definidas só para proposições do tipo A, E, I, O: podem ser definidas para qualquer par de proposições, e portanto também para operadores lógicos. Um operador $\#$ é:

• um operador contraditório se, para toda proposição $P$, $P$ e $\#P$ são contraditórias;
• um operador contrário se existe uma proposição $P$ tal que $P$ e $\#P$ são ambas falsas, e nenhum par $Q$, $\#Q$ pode ser ambas verdadeiras;
• um operador subcontrário se existe uma proposição $P$ tal que $P$ e $\#P$ são ambas verdadeiras, e nenhum par $Q$, $\#Q$ pode ser ambas falsas (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 222).

E então vem a tese central do artigo: existe uma correspondência direta entre essas três noções de operador e as três negações que já conhecemos deste blog — negação clássica como operador contraditório, negação paracompleta como operador contrário, negação paraconsistente como operador subcontrário (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 222-223). (Segundo Béziau relata, os próprios termos "paraconsistente" e "paracompleto" para negação vêm de uma carta que o filósofo peruano Francisco Miró Quesada escreveu a da Costa em 1975 (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 222) — outro fiozinho da história que conecta este blog a essa tradição.)

Vale notar que essa correspondência dá a Béziau uma resposta direta ao desafio de Slater que já apareceu na primeira nota desta série: se Slater diz que a negação paraconsistente não é negação porque é "apenas" um operador subcontrário, Béziau simplesmente inverte a acusação — "podemos também afirmar exatamente o contrário: as negações paraconsistentes são negações porque são operadores subcontrários" (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 223). A ideia é que não dá para separar negação de oposição: se existem três tipos de oposição, é razoável esperar três tipos de negação.

Uma fórmula contra suas três negações

Voltemos então à nossa própria fórmula $\alpha$ e às suas três negações: $\neg_c\alpha$ (clássica), $\neg_q\alpha$ (paracompleta) e $\neg_p\alpha$ (paraconsistente). Um exemplo ajuda a sentir a diferença antes de formalizar: suponha que $\alpha$ seja "a turma passou". $\neg_c\alpha$ é a negação de sempre — se a turma passou, é falso que não passou, e vice-versa, sem meio-termo. $\neg_q\alpha$ é mais cautelosa: reflete uma situação em que ainda não temos informação suficiente para afirmar nem que a turma passou nem que não passou — as duas podem estar indecididas ao mesmo tempo. $\neg_p\alpha$ vai no sentido oposto: reflete uma situação de informação excedente, e não escassa — relatos que se contradizem, um dizendo que a turma passou e outro que não, sem que isso torne tudo trivial.

Aplicando a sugestão de Béziau a esse trio: $\alpha$ e $\neg_c\alpha$ não podem ter o mesmo valor de verdade — são contraditórias. $\alpha$ e $\neg_q\alpha$ podem ser ambas falsas (o caso indeciso), mas não ambas verdadeiras — são contrárias. $\alpha$ e $\neg_p\alpha$ podem ser ambas verdadeiras (o caso dos relatos conflitantes), mas não ambas falsas — são subcontrárias (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 51-52).

Uma estrela não bastou nem para Béziau

Isso já nos dá uma figura de quatro pontas — mas seria enganoso chamá-la de quadrado, porque ela não tem quatro proposições concorrendo entre si como A, E, I, O: tem uma proposição no centro e três negações ao redor. É interessante notar que o próprio Béziau, ao tentar desenhar essa mesma ideia — uma proposição $P$ e suas três negações — esbarrou no mesmo problema: $P$ simplesmente não cabe no quadrado tradicional, que só tem espaço para quatro proposições quantificadas ou modais (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 226). A solução dele foi bem mais elaborada que a nossa: construiu três "estrelas" separadas (cada uma cruzando $P$ com uma de suas negações, à moda do hexágono de Blanche) e depois uniu as três estrelas pelos vértices que elas compartilham, obtendo um sólido de doze vértices — um dodecaedro estrelado das oposições (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 226-229).

Não precisamos de doze vértices. Com apenas três negações primitivas — e não uma família aberta de operadores modais e quantificacionais, como no projeto de Béziau — dá para chegar a algo bem mais simples.

O tetraedro simples das oposições

Falta ainda uma relação: haveria alguma subalternação entre as três negações? Para responder, precisamos apenas das condições de verdade de cada negação:

Se $\neg_q\alpha$ é verdadeira, por (iii) $\alpha$ é falsa; e se $\alpha$ é falsa, por (i) $\neg_c\alpha$ é verdadeira. Ou seja, $\upsilon(\neg_q\alpha) = 1 \Rightarrow \upsilon(\neg_c\alpha) = 1$: a negação paracompleta subalterna a negação clássica (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 52-53).

Suponha agora que $\neg_c\alpha$ é verdadeira. Por (i), $\alpha$ é falsa. E se $\alpha$ é falsa, pela contrapositiva de (ii) — se $\alpha$ não é verdadeira, $\neg_p\alpha$ não pode ser falsa — segue que $\neg_p\alpha$ é verdadeira. Temos então $\upsilon(\neg_c\alpha) = 1 \Rightarrow \upsilon(\neg_p\alpha) = 1$: a negação clássica subalterna a negação paraconsistente (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 53).

E, por transitividade das duas relações já obtidas, $\upsilon(\neg_q\alpha) = 1 \Rightarrow \upsilon(\neg_p\alpha) = 1$: a negação paracompleta subalterna também a paraconsistente (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 54). Com essa terceira subalternação, fechamos a figura:

Chamamos essa figura de Tetraedro Simples das Oposições (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 52-55): quatro vértices — $\alpha$, $\neg_c\alpha$, $\neg_q\alpha$, $\neg_p\alpha$ — e seis relações entre eles, nem mais nem menos do que a sugestão de Béziau, aplicada com o mínimo de aparato necessário, permite derivar.

Um convite, de novo

Chegamos a algo que parece fazer sentido: um mapa completo de como três negações tão diferentes se relacionam entre si e com a fórmula que negam. Mas notem que esse mapa foi construído inteiramente na semântica — em termos de valores de verdade que uma fórmula e suas negações podem ou não compartilhar. Ele não nos diz se existe algum sistema lógico dentro do qual essas seis relações realmente podem ser expressas e demonstradas — um sistema em que uma fórmula como $\neg_c\alpha \rightarrow \neg_p\alpha$, ou mesmo algo como $\neg_c\neg_p\neg_q\alpha$, com as três negações reiteradas sobre a mesma fórmula, faça sentido.

Essa pergunta parece simples, mas a resposta não é óbvia.