O Quadrado das Oposições

Imagine que acabei de corrigir as provas da minha turma e escrevo, no quadro, quatro frases sobre o resultado:

• "Todo aluno passou."
• "Nenhum aluno passou."
• "Algum aluno passou."
• "Algum aluno não passou."

Se a primeira frase for verdadeira, o que isso me diz sobre as outras três? Se eu souber que a segunda é falsa, o que posso concluir sobre a quarta? Essas quatro frases não são independentes umas das outras — elas se travam em uma rede bem precisa de relações, e foi Aristóteles quem primeiro tentou mapear essa rede com todo o rigor (Aristóteles, 350Aristóteles. Da Interpretação (De Interpretatione). 350.; Parte 7). O resultado desse mapeamento é o que a tradição lógica batizou de quadrado das oposições. Antes de discutirmos negação paraconsistente, negação paracompleta ou qualquer sistema não-clássico, vale a pena entender essa peça clássica — porque, como veremos nas próximas notas, é exatamente o vocabulário que ela oferece que nos permite comparar negações tão diferentes entre si.

As quatro proposições categóricas

Aristóteles, em Da Interpretação, distingue frases pelo cruzamento de duas variáveis: quantidade (universal ou particular) e qualidade (afirmativa ou negativa) (Aristóteles, 350Aristóteles. Da Interpretação (De Interpretatione). 350.; Partes 6-7). Cruzando essas duas variáveis obtemos exatamente quatro tipos de proposição, tradicionalmente rotulados pelas letras A, E, I e O — rótulo que vem do latim medieval: as vogais de affIrmo ("eu afirmo") deram nome às afirmativas (A e I), e as vogais de nEgO ("eu nego") deram nome às negativas (E e O).

Na lógica contemporânea, essas quatro formas costumam ser simbolizadas com quantificadores de primeira ordem, tomando $S$ como o termo sujeito ("aluno") e $P$ como o termo predicado ("ser aprovado"):

Um diagrama mais recente do que parece

A doutrina é de Aristóteles, no século IV a.C. — mas o quadrado como diagrama, a figura que costumamos desenhar hoje com as quatro letras nos vértices, é bem mais tardio: aparece já no século II d.C. e é consolidado por Boécio em seus comentários, de onde chega até a lógica medieval e, dali, aos manuais atuais (Parsons e Ciola, 2025Parsons, Terence; Ciola, Graziana. The Traditional Square of Opposition. 2025.). Vale a ressalva, porque é comum atribuir a Aristóteles não só as ideias, mas o próprio desenho — e o desenho tem uma história um pouco mais longa que isso.

As quatro relações

O que faz do quadrado algo mais do que uma tabela de quatro frases é o modo como cada par de vértices se relaciona. São quatro relações:

Contradição (A–O e E–I): duas proposições são contraditórias quando não podem ter o mesmo valor de verdade — se uma é verdadeira, a outra é falsa, e vice-versa. "Todo aluno passou" e "Algum aluno não passou" não podem ser ambas verdadeiras (se todos passaram, não há exceção), nem ambas falsas (se é falso que todos passaram, então há pelo menos um que não passou).

Contrariedade (A–E): duas proposições são contrárias quando não podem ser ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. "Todo aluno passou" e "Nenhum aluno passou" não podem ser as duas verdadeiras ao mesmo tempo — mas podem ser as duas falsas, se parte da turma passou e parte não.

Subcontrariedade (I–O): o espelho da contrariedade. Duas proposições são subcontrárias quando não podem ser ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras. "Algum aluno passou" e "Algum aluno não passou" podem perfeitamente ser as duas verdadeiras (basta a turma estar dividida) — mas não podem ser as duas falsas, pois isso exigiria que nenhum aluno tivesse passado e, ao mesmo tempo, nenhum tivesse deixado de passar, o que esgota toda a turma sem sobrar ninguém.

Subalternação ($A \to I$ e $E \to O$): a universal "manda" na particular correspondente. Se "todo aluno passou" é verdadeira, "algum aluno passou" também é. Se "nenhum aluno passou" é verdadeira, "algum aluno não passou" também é.

Antes de fechar, vale registrar uma ressalva técnica, porque ela vai ser relevante mais adiante: essas quatro relações, do jeito que Aristóteles as apresenta, pressupõem que o termo sujeito não é vazio — que existe pelo menos um aluno na turma. Na simbolização booleana moderna que vimos acima, sem essa suposição, contrariedade, subcontrariedade e subalternação deixam de valer todas ao mesmo tempo (só a contradição sobrevive incondicionalmente) (Parsons e Ciola, 2025Parsons, Terence; Ciola, Graziana. The Traditional Square of Opposition. 2025.). É um lembrete de que mesmo uma peça tão antiga e aparentemente óbvia quanto o quadrado das oposições depende de pressupostos que precisam ser explicitados — o que já é, por si, uma boa lição para qualquer discussão sobre negação.

Um convite

Reparem que as quatro relações que acabamos de ver não foram definidas em termos de "negação" — foram definidas em termos de valores de verdade que duas proposições quaisquer podem ou não compartilhar. E, no entanto, a negação está em toda parte do quadrado: é ela que transforma A em E (trocando afirmativa por negativa, mantendo a universalidade) e I em O. Isso sugere uma pergunta que Aristóteles nunca teve motivo para fazer, mas que se torna inevitável assim que começamos a levar a sério a existência de mais de um tipo de negação: será que a relação entre uma fórmula $\alpha$ e sua negação clássica é do mesmo tipo que a relação entre $\alpha$ e uma negação paraconsistente, ou entre $\alpha$ e uma negação paracompleta? Ou será que, na verdade, cada uma dessas negações estabelece com $\alpha$ uma relação de oposição diferente — contradição, contrariedade, subcontrariedade — dependendo de como ela se comporta (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 51-52)?