Três Modos de Negar

A negação clássica tem duas exigências: uma proposição $\alpha$ e sua negação $\neg_c\alpha$ nunca podem ser ambas verdadeiras (Princípio da Não-Contradição), e nunca podem ser ambas falsas (Princípio do Terceiro Excluído). Some a isso o Ex Falso — de uma contradição, qualquer coisa se segue — e entende-se por que uma única contradição basta para trivializar uma teoria clássica inteira.

Relaxar a primeira exigência sem relaxar a segunda dá origem às lógicas paraconsistentes. Relaxar a segunda sem relaxar a primeira dá origem às lógicas paracompletas. O truque, nos dois casos, é fazer isso sem perder o controle — sem que relaxar uma exigência acabe, de novo, trivializando tudo.

Quando uma contradição não explode

Em $C_1$ (da Costa, 1963DA COSTA, Newton C. A. Calculs propositionnels pour les systèmes formels inconsistants. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Paris, t. 257, p. 3790-3792, 1963.), a negação paraconsistente $\neg_p$ é semanticamente mais fraca que a clássica: $\upsilon(\neg_p\alpha) = 0 \Rightarrow \upsilon(\alpha) = 1$, mas não vale a volta. Ou seja, $\neg_p\alpha$ falsa ainda garante $\alpha$ verdadeira — mas $\neg_p\alpha$ verdadeira não garante mais que $\alpha$ seja falsa. É exatamente essa brecha que permite $\alpha$ e $\neg_p\alpha$ serem ambas verdadeiras sem trivializar o sistema.

O preço não é abrir mão de tudo — é restringir. Da Costa define um operador de bom comportamento: $\alpha^\circ \overset{\text{def}}{=} \neg_p(\alpha \land \neg_p\alpha)$. Uma fórmula é bem comportada quando o Princípio da Não-Contradição vale especificamente para ela. E só para as fórmulas bem comportadas o Ex Falso volta a ser teorema. Para as demais, a negação faz exatamente o que se espera de uma negação paraconsistente: tolera contradições, sem deixar que elas contaminem o resto do sistema.

Quando nem tudo é verdadeiro ou falso

O caminho espelhado leva a $P_1$ (Costa e Marconi, 1986DA COSTA, Newton C. A.; MARCONI, Diego. A note on paracomplete logic. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti, Roma, série 8, v. 80, p. 504-509, 1986.). Aqui, $\alpha \lor \neg_q\alpha$ deixa de ser teorema geral — pode haver uma fórmula que não seja nem verdadeira, nem falsa. O operador de bom comportamento correspondente é $\alpha^\bullet \overset{\text{def}}{=} \alpha \lor \neg_q\alpha$: uma fórmula é bem comportada quando o Terceiro Excluído vale para ela, especificamente.

Note a simetria: $C_1$ restringe a Não-Contradição e mantém o Terceiro Excluído; $P_1$ restringe o Terceiro Excluído e mantém a Não-Contradição. Ambos preservam o mesmo fragmento positivo — conjunção, disjunção, condicional funcionam exatamente como na lógica clássica. A diferença entre os três sistemas mora inteiramente na negação (Gracher, 2022Referência completa: GRACHER, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres: College Publications, 2022.; cap. 1.2-1.4).

Essa simetria não é coincidência, e não passou despercebida.

Quando as duas coisas acontecem ao mesmo tempo

$C_1$ escolhe restringir a Não-Contradição. $P_1$ escolhe restringir o Terceiro Excluído. Mas por que escolher? Anos depois de propor os dois sistemas, da Costa tentou construir um terceiro que não precisasse escolher — capaz de admitir tanto contradições quanto lacunas de verdade, fórmula por fórmula, sem deixar de recuperar a lógica clássica quando as condições certas estivessem satisfeitas. A esse sistema ele deu o nome de lógica não-alética, $N_1$ (da Costa, 1989DA COSTA, Newton C. A. Logics that are both paraconsistent and paracomplete. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti, Roma, série 8, v. 83, n. 1, p. 29-32, 1989.).

A primeira dificuldade é de vocabulário. $N_1$ tem um único conectivo de negação primitivo, $\neg_n$ — nem clássico, nem paraconsistente, nem paracompleto, isoladamente. Para dar sentido a ele, da Costa precisa dos dois operadores de bom comportamento ao mesmo tempo, não mais de um só: o operador-$\circ$ que já vimos em $C_1$ (bom comportamento no sentido da Não-Contradição) e o operador-$\bullet$ que já vimos em $P_1$ (bom comportamento no sentido do Terceiro Excluído):

Um dos postulados de $N_1$ garante algo importante: $\alpha^\circ \lor \alpha^\bullet$ — toda fórmula é bem comportada em pelo menos um dos dois sentidos. Nenhuma fórmula pode ser mal comportada nos dois sentidos ao mesmo tempo. Isso deixa exatamente três possibilidades para qualquer fórmula $\alpha$:

• ela satisfaz a Não-Contradição, mas não o Terceiro Excluído — uma fórmula paraconsistente;
• ela satisfaz o Terceiro Excluído, mas não a Não-Contradição — uma fórmula paracompleta;
• ela satisfaz as duas coisas — uma fórmula clássica.

É exatamente dessa divisão em três casos que da Costa consegue, finalmente, definir as três negações vistas nas seções anteriores — não mais como sistemas separados, mas como três comportamentos diferentes de um único conectivo, dependendo de qual dos três casos a fórmula ligada a ele satisfaz:

Em outras palavras: a negação de uma fórmula paraconsistentemente mal comportada (mas paracompletamente bem comportada) se comporta como $\neg_p$; a de uma fórmula paracompletamente mal comportada (mas paraconsistentemente bem comportada) se comporta como $\neg_q$; e a de uma fórmula bem comportada nos dois sentidos se comporta como $\neg_c$ — a negação clássica de sempre.

A recompensa vem em três teoremas de recuperação, espelhando exatamente o que já vimos nas seções anteriores: adicionar o Terceiro Excluído a $N_1$ devolve $C_1$; adicionar a Não-Contradição devolve $P_1$; adicionar as duas coisas devolve a lógica clássica (da Costa, 1989DA COSTA, Newton C. A. Logics that are both paraconsistent and paracomplete. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti, Roma, série 8, v. 83, n. 1, p. 29-32, 1989.; p. 30). $N_1$ não é, portanto, um quarto sistema competindo com os outros três — é o sistema que os contém a todos, cada um aparecendo como um caso particular, dependendo de quais restrições decidimos impor sobre a fórmula em questão.