Sistemas KG e suas novidades

Na nota anterior apresentei a sintaxe, a semântica e o método de prova dos Sistemas KG — o suficiente para entender como o sistema funciona, mas não para entender por que ele valia a pena construir. Esta nota fecha essa lacuna: o que ganhamos, de fato, ao tratar as três negações como conectivos primitivos, livres para se combinar?

Fórmulas que antes nem valiam a pena perguntar

Vimos, notas atrás, que $N_1$ trava assim que tentamos misturar negações diferentes numa mesma fórmula: o Teorema de Arruda força o bom comportamento a se propagar por toda a cadeia de negações reiteradas, de modo que uma fórmula como $\neg_c\neg_p\neg_q\neg_c\alpha$ acaba se comportando, por dentro, exatamente como $\neg_c\neg_c\neg_c\neg_c\alpha$ — os símbolos $p$ e $q$ no meio da cadeia não fazem diferença nenhuma. O problema não é que $N_1$ não consiga escrever essas fórmulas; é que, assim que uma negação clássica entra na cadeia, tudo que vem depois dela é obrigado a se comportar classicamente também, o que esvazia a pergunta que queríamos fazer.

Nos Sistemas KG essa obrigação simplesmente não existe. Uma fórmula como $\neg_q\neg_c\alpha$ é, desde o início, uma fórmula legítima da linguagem, sem que a presença de $\neg_c$ force nada sobre o comportamento de $\neg_q$. E o resultado não é apenas que a fórmula agora pode ser perguntada — é que a resposta já está disponível: $\neg_q\neg_c\alpha \rightarrow \alpha$ é um teorema de $KG_m$, o sistema mais fraco da família, sem precisar de nenhum axioma extra (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 156-157).

Dezoito fórmulas, oito teoremas

Para ver esse ganho com mais precisão, vale examinar sistematicamente as fórmulas de dupla negação. Com uma negação só, há duas fórmulas clássicas de dupla negação — introdução ($\alpha \rightarrow \neg\neg\alpha$) e eliminação ($\neg\neg\alpha \rightarrow \alpha$). Com três negações primitivas que podem se combinar livremente, há nove variantes de cada uma: um total de dezoito fórmulas, uma para cada par ordenado de negações entre $\neg_c$, $\neg_p$ e $\neg_q$ (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 145-146).

Destas dezoito, oito já são teoremas de $KG_m$ — sem nenhum axioma além dos que apresentei na nota anterior:

As outras dez não são teoremas de $KG_m$ (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 146). Quatro delas são previsíveis: $\alpha \rightarrow \neg_p\neg_p\alpha$, $\neg_p\neg_p\alpha \rightarrow \alpha$, $\alpha \rightarrow \neg_q\neg_q\alpha$ e $\neg_q\neg_q\alpha \rightarrow \alpha$ falham porque, como vimos, $KG_m$ propositalmente deixa a dupla negação paraconsistente e a dupla negação paracompleta abertas — é exatamente aí que entram (N5) e (N6). Some (N5) e $\neg_p\neg_p\alpha \rightarrow \alpha$ se torna teorema de $KG_p$; some (N6) e $\alpha \rightarrow \neg_q\neg_q\alpha$ se torna teorema de $KG_q$; some os dois e ambas valem em $KG_c$, junto com o restante da família (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 146-147).

As outras seis falhas são mais interessantes, porque não têm essa explicação direta — e revelam a mesma assimetria que já tínhamos visto na semântica. $\alpha \rightarrow \neg_c\neg_q\alpha$ é teorema, mas $\neg_c\neg_q\alpha \rightarrow \alpha$ não é; $\neg_q\neg_c\alpha \rightarrow \alpha$ é teorema, mas $\alpha \rightarrow \neg_q\neg_c\alpha$ não é. Ou seja: trocar a ordem de duas negações diferentes, ou trocar introdução por eliminação, pode transformar um teorema numa fórmula indemonstrável. Isso não é uma inconsistência do sistema — é o reflexo direto de $\neg_p$ e $\neg_q$ terem, na semântica, apenas metade de uma condição de verdade cada uma, como vimos na nota anterior: onde a condição está aberta, a fórmula correspondente também fica em aberto.

O Tetraedro Completo das Oposições

Essas dezoito fórmulas — mais as relações de oposição que já conhecíamos do Tetraedro Simples — podem ser organizadas numa única figura. Basta acrescentar, aos quatro vértices que já tínhamos ($\alpha$ e suas três negações), todas as nove combinações de dupla negação possíveis. O resultado tem treze fórmulas ao todo: $\alpha$; suas três negações simples; e as nove reiterações duplas (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 158-159).

As cores seguem a mesma chave do Tetraedro Simples: conexões azuis marcam contradição, vermelhas marcam contrariedade, verdes marcam subcontrariedade, e as setas tracejadas — com uma bolinha numa ponta e uma seta na outra — marcam subalternação, indicando que a fórmula do lado da seta é subalterna à do lado da bolinha. As três conexões externas do diagrama, rotuladas $KG_p$, $KG_q$ e $KG_c$, são as subalternações entre $\neg_p\neg_p\alpha$, $\neg_q\neg_q\alpha$ e as demais fórmulas que só valem nos sistemas que incluem (N5) e/ou (N6) — a mesma dupla de exceções que apareceu na tabela acima, agora desenhada como parte da figura. Todas as conexões do tetraedro, sem exceção, podem ser demonstradas pelo método de tableaux analíticos que apresentei na nota anterior (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 159).

Uma família gerada por dois axiomas

Vale notar a economia por trás de tudo isso. A diferença entre os quatro Sistemas KG não está em quatro conjuntos de axiomas desenhados um a um: está inteiramente em (N5) e (N6), presentes ou ausentes. $KG_m$ não tem nenhum dos dois; $KG_p$ tem só (N5); $KG_q$ tem só (N6); $KG_c$ tem os dois. Quatro sistemas, cada um deles correto e completo em relação à sua própria semântica e ao seu próprio método de tableaux, surgem de uma única variação binária sobre uma base comum — e, como $KG_m$ é o núcleo de todos, todo teorema de $KG_m$ (inclusive as oito fórmulas de dupla negação que já valem sem nenhum axioma extra) permanece teorema em qualquer um dos outros três.

O que continua garantido

Nada disso troca a lógica clássica, $C_1$ ou $P_1$ por outra coisa: os Sistemas KG não descartam o que já sabíamos, eles o preservam e ampliam. A lógica proposicional clássica, o cálculo paraconsistente $C_1$, o cálculo paracompleto $P_1$ e toda a hierarquia não-alética $N_n$ ($0 \leq n \leq \omega$) são imersíveis em algum sistema da família KG — cada um desses sistemas mais antigos pode ser traduzido para dentro do sistema KG apropriado, preservando seus teoremas (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 156). O que os Sistemas KG acrescentam não é uma alternativa a esses sistemas: é a capacidade, que nenhum deles tinha, de deixar as negações que eles descrevem separadamente interagirem dentro de uma mesma fórmula.

Uma calculadora para conferir

Nada do que descrevi aqui precisa ficar só no papel. Montei uma calculadora interativa que constrói o tableau de qualquer fórmula, em qualquer um dos quatro Sistemas KG, passo a passo — e que desenha o próprio Tetraedro das Oposições, do simples ao completo, de forma navegável:

Convido o leitor a testar ali mesmo algumas das fórmulas desta nota — inclusive as dez que não são teoremas de $KG_m$, para ver exatamente onde e por que o tableau fica aberto.

Ficamos, então, com dois diagramas: o Tetraedro Simples, que nasceu quase de graça a partir da sugestão de Béziau, e o Tetraedro Completo, que só os Sistemas KG tornam possível desenhar. Na próxima nota, fecho a série reconstruindo o caminho inteiro — do quadrado aristotélico ao tetraedro completo — como uma única linha de raciocínio.