Do Quadrado ao Tetraedro Completo das Oposições

As cinco notas anteriores desta série podem parecer, lidas em sequência, uma coleção de assuntos que só por acaso se tocam: um diagrama de Aristóteles, um artigo de Béziau, um sistema de da Costa que não funciona, e um sistema meu que funciona. Não é por acaso. É uma única pergunta, respondida em quatro níveis crescentes de generalidade. Vale a pena percorrer o caminho de novo, de uma vez só, para que ele apareça como o que realmente é.

Nível 1: quatro proposições

Tudo começou com um problema bem concreto: como quatro frases sobre uma turma de alunos — "todo aluno passou", "nenhum aluno passou", "algum aluno passou", "algum aluno não passou" — se travam numa rede de relações. Aristóteles identificou quatro dessas relações — contradição, contrariedade, subcontrariedade e subalternação — definidas em termos de quais valores de verdade cada par de proposições pode ou não compartilhar (Aristóteles, 350Aristóteles. Da Interpretação (De Interpretatione). 350.; Partes 6-7). O diagrama que hoje chamamos de quadrado das oposições é posterior à doutrina em si, consolidado só séculos depois por Boécio (Parsons e Ciola, 2025Parsons, Terence; Ciola, Graziana. The Traditional Square of Opposition. 2025.), mas as quatro relações já estavam todas lá.

O ponto essencial, para os nossos propósitos, é que essas quatro relações não foram definidas usando a palavra "negação" — foram definidas em termos de valores de verdade compartilhados ou não. A negação está presente (é ela que leva de "todo" a "nenhum", de "algum" a "algum não"), mas não é o objeto de estudo do quadrado. Isso é o que torna o quadrado, à primeira vista, uma peça de história da lógica sem relação óbvia com negação paraconsistente ou paracompleta.

Nível 2: de proposições a operadores

Eis o primeiro passo da generalização: nada nas quatro relações exige que elas se apliquem só a proposições categóricas como as de Aristóteles. Contradição, contrariedade e subcontrariedade podem ser definidas para qualquer operador $\#$ aplicado a qualquer proposição $P$ (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 222). E, definidas desse jeito mais geral, as três relações (deixando de lado a subalternação, que Béziau não trata como oposição genuína) passam a corresponder exatamente às três negações que interessam: a clássica como operador contraditório, a paracompleta como operador contrário, a paraconsistente como operador subcontrário (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 222-223).

Essa correspondência foi o que nos permitiu, na segunda nota desta série, tomar uma fórmula $\alpha$ qualquer e suas três negações — $\neg_c\alpha$, $\neg_q\alpha$, $\neg_p\alpha$ — e perguntar, usando o vocabulário do quadrado: que relação cada negação estabelece com $\alpha$? A resposta semântica veio direto das condições de verdade de cada negação, e trouxe de brinde uma quarta relação que Béziau não havia buscado: as três subalternações entre as próprias negações, fechando a figura que chamei de Tetraedro Simples das Oposições (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 51-55).

Já é uma figura de quatro vértices e seis relações — mais do que o quadrado tinha para quatro proposições categóricas, e obtida com um aparato bem mais simples que o dodecaedro estrelado que o próprio Béziau precisou construir para chegar a uma ideia parecida (Beziau, 2003Beziau, Jean-Yves. New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner. Logical Investigations. v. 10. p. 218-232. 2003.; p. 226-229).

Nível 3: uma pergunta que a semântica sozinha não respondia

O Tetraedro Simples, porém, foi construído inteiramente na semântica — em termos de condições de verdade. Ele não garante que exista algum sistema lógico dentro do qual essas seis relações possam de fato ser demonstradas, especialmente quando as negações começam a se reiterar sobre a mesma fórmula. Essa é a pergunta que fechou a segunda nota, e que a terceira tentou responder usando $N_1$, de da Costa (1989)da Costa, N.C.A.. Logics that are both paraconsistent and paracomplete. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti. v. 83. n. 1. p. 29–32. Accademia Nazionale dei Lincei. 1989. — o único sistema da tradição paraconsistente que introduz as três negações dentro de uma única linguagem.

A resposta foi não. O Teorema de Arruda, adaptado a $N_1$, força o bom comportamento de uma fórmula a se propagar por toda cadeia de negações reiteradas sobre ela — o que garante que $N_1$ trate bem cada negação isoladamente, mas impede as três de interagir livremente numa mesma fórmula. Uma fórmula como $\neg_c\neg_p\neg_q\neg_c\alpha$ acaba se comportando, por dentro, como $\neg_c\neg_c\neg_c\neg_c\alpha$: os símbolos $p$ e $q$ no meio da cadeia não fazem diferença nenhuma (Gracher, 2026Gracher, Kherian. Can da Costa's Non-Alethic Logic Really Handle Multiple Negations?. Manuscrito.; p. 8-11). A subalternação $\neg_q\alpha \rightarrow \neg_p\alpha$, que o Tetraedro Simples exige, chega a ser diretamente refutável dentro de $N_1$. O diagnóstico da terceira nota foi que isso não é uma peculiaridade de $N_1$, mas uma consequência de como da Costa constrói suas negações: marcando a proposição como bem ou mal comportada, e deixando que a negação apenas herde esse comportamento.

Nível 4: negações primitivas, um tetraedro completo

Foi para resolver exatamente esse problema que desenvolvi, no doutorado, os Sistemas KG: em vez de uma negação cujo comportamento depende de marcações sobre a proposição, três conectivos de negação primitivos — $\neg_c$, $\neg_q$, $\neg_p$ — que podem ser aplicados a qualquer fórmula sem pré-condição nenhuma, com o bom comportamento definido a partir deles, e não o contrário (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 61-62). Nada, na sintaxe, impede $\neg_q\neg_c\alpha$ ou $\neg_c\neg_p\neg_q\alpha$.

E o ganho não é só sintático. Das dezoito fórmulas de dupla negação que a família KG permite formular — nove de introdução, nove de eliminação, uma para cada par ordenado de negações —, oito já são teoremas do sistema mais fraco da família, $KG_m$, sem axioma nenhum além do núcleo comum; as dez restantes se resolvem ajustando só dois axiomas, (N5) e (N6), que geram os outros três sistemas da família (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 145-147). Organizando essas dezoito fórmulas junto com as relações do Tetraedro Simples, chegamos a uma figura de treze vértices — $\alpha$, suas três negações, e as nove reiterações duplas possíveis — que batizei de Tetraedro Completo das Oposições (Gracher, 2022Gracher, Kherian. Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta. Londres. College Publications. 2022.; p. 158-159).

Essa figura simplesmente não podia existir antes dos Sistemas KG — não por falta de imaginação geométrica, mas porque nenhum sistema anterior tinha como demonstrar boa parte das relações que ela desenha. O Tetraedro Completo não é uma ilustração do que os Sistemas KG fazem; é, literalmente, um mapa de teoremas.

Uma mesma pergunta, quatro respostas

Voltando ao início: a pergunta por trás de toda a série sempre foi a mesma — como três negações tão diferentes entre si se relacionam, tanto com a fórmula que negam quanto umas com as outras? Aristóteles respondeu essa pergunta, sem saber que a estava fazendo, para quatro proposições quantificadas. Béziau generalizou a resposta para qualquer operador. Eu tentei generalizar de novo, primeiro semanticamente (o Tetraedro Simples) e depois axiomática e demonstrativamente (os Sistemas KG e o Tetraedro Completo). Em cada nível, a mesma estrutura de relações — contradição, contrariedade, subcontrariedade, subalternação — reaparece, um pouco mais rica e um pouco mais custosa de obter do que no nível anterior.

Quem quiser ver essa progressão inteira de forma navegável, e não só em duas figuras estáticas, pode explorar o Tetraedro Completo das Oposições em Pesquisa/SistemasKG junto com o construtor de tableaux que permite testar qualquer uma das fórmulas discutidas nesta série.

O livro, por sua vez, ainda guarda mais um capítulo sobre o assunto: uma extensão dos Sistemas KG para a lógica de primeira ordem, capaz de axiomatizar teorias mais robustas do que a lógica proposicional sozinha permite. Fica a pista para quem quiser continuar de onde esta série parou.